Bayesian Network

贝叶斯网络也称为信念网络，是一种概率图模型，通过有向无环图（DAG）表示一组随机变量及其条件依赖关系。每个节点代表一个变量，例如疾病、症状或传感器读数；每条箭头都从直接影响指向受其影响的变量。每个节点都存有一个条件概率表，给出其父节点取值的每种组合所对应的分布；这些表共同定义了所有变量的完整联合分布。给定部分变量的证据后，网络会计算其余变量更新后的概率，因此可用于不确定性下的诊断、风险评估和决策支持。Judea Pearl 在 20 世纪 80 年代发展了该领域的大部分理论，并因在概率推理与因果推理方面的工作获得 2011 年图灵奖。

结构与条件概率表#

该图编码了条件独立性：已知某个变量的父节点后，该变量便独立于所有非后代变量。这样，联合分布就能分解为较小的局部部分：P(X1, ..., Xn) = P(X1 | parents(X1)) × ... × P(Xn | parents(Xn))。Pearl 研究中的经典入室盗窃警报网络，在 Russell 和 Norvig 的教科书《人工智能：一种现代方法》中广泛使用，包含五个是非变量。入室盗窃或地震都可能触发家庭警报器，警报器响起后，两位邻居 John 和 Mary 会给屋主打电话。

五个二元变量的完整联合概率表需要 31 个独立概率。该网络只需要 10 个：入室盗窃和地震各 1 个，警报器在其两个父节点每种取值组合下有 4 个，每位邻居在警报器状态下各有 2 个。变量增多后，节省会迅速扩大，因为每个表的大小只取决于该节点的父节点数量。

推理：根据证据更新信念#

推理会固定观测到的变量，并通过在图中应用贝叶斯定理来计算查询变量的后验分布。推理可以沿任意方向进行：从原因到结果（预测）、从结果到原因（诊断），以及在共同结果的原因之间进行。最后一种模式称为解释消除：一旦得知警报器响过，若又得知发生了地震，入室盗窃的概率就会降低。通过枚举或变量消除进行精确推理，在小型网络或树状网络上可行，但一般情况下属于 NP-hard 问题，因此大型网络会采用似然加权、Gibbs 采样或循环信念传播等近似方法。

此示例通过枚举回答教科书中的查询 P(Burglary | John calls, Mary calls)，并对未观测到的地震和警报器变量求和，以计算因子化后的联合分布：

from itertools import product

# Conditional probability tables of the burglary-alarm network
p_burglary, p_earthquake = 0.001, 0.002
p_alarm = {(True, True): 0.95, (True, False): 0.94, (False, True): 0.29, (False, False): 0.001}
p_john = {True: 0.90, False: 0.05}  # P(John calls | alarm)
p_mary = {True: 0.70, False: 0.01}  # P(Mary calls | alarm)


def bern(p, value):
    """Return the probability of a binary outcome with success probability p."""
    return p if value else 1 - p


# Evidence: both neighbors called. Sum the factored joint over the hidden variables.
joint = {True: 0.0, False: 0.0}
for b, e, a in product([True, False], repeat=3):
    joint[b] += bern(p_burglary, b) * bern(p_earthquake, e) * bern(p_alarm[b, e], a) * p_john[a] * p_mary[a]

print(f"P(burglary | John and Mary call) = {joint[True] / sum(joint.values()):.3f}")

脚本输出 0.284，与教科书给出的答案相同。两通电话会将入室盗窃的概率从千分之一提高到约 28%；其余 72% 的可能性对应没有发生入室盗窃的解释，例如警报器由地震或故障触发，因为入室盗窃十分罕见。

从数据中学习贝叶斯网络#

网络可以根据专家知识手动构建、从数据中学习，也可以兼而有之。参数学习会根据观测频率填充条件概率表，并使用先验概率平滑罕见组合；如果有些值缺失，则使用期望最大化算法。结构学习则搜索图本身：可以使用贝叶斯信息准则等标准为候选图评分，也可以像 PC 算法那样运行条件独立性检验。学习得到的箭头表示统计依赖关系；若要将其解释为因果关系，还需要因果发现领域研究的额外假设。pgmpy 等 Python 库实现了这两类学习，以及精确和近似推理。

实际应用#

• 医学诊断：网络将疾病与其导致的症状和检测结果关联起来，因此临床医生的观察会更新各种病症的概率；每个结论都可以沿着图追溯，这是一种可解释人工智能。
• 故障诊断：工业和 IT 系统会建模组件故障如何传播到警报和读数。在视觉检测中，YOLO26 检测器发现的缺陷类别可以作为观测证据输入网络，用来更新每种上游根本原因的概率，例如工具磨损或机器校准不当。
• 风险评估：生态学家、保险公司和安全工程师会在网络中结合稀疏数据与专家判断，以估算罕见事件发生的可能性。

贝叶斯网络与相关模型的比较#

• 朴素贝叶斯：一种贝叶斯网络，其中每个特征的唯一父节点都是类别节点；它假设在给定类别的条件下，各特征彼此独立。
• 马尔可夫随机场：使用无向边的图模型，适用于图像相邻像素等对称关系。
• 马尔可夫决策过程：用于建模序贯决策，其中动作会改变状态，目标是最大化奖励；这是强化学习的标准框架。只有扩展为包含决策节点和效用节点的影响图后，贝叶斯网络才具备决策和收益表示能力。
• 隐马尔可夫模型：一种动态贝叶斯网络，即在每个时间步重复相同结构，并由隐藏状态在每一步产生一个观测。卡尔曼滤波器具有相同的结构，但使用连续状态以及线性高斯转移和观测。