Bayesian Network

İnanç ağı olarak da adlandırılan Bayes ağı, rastgele değişkenler kümesini ve bunların koşullu bağımlılıklarını yönlü çevrimsiz bir grafikle (DAG) gösteren bir olasılıksal grafik modelidir. Her düğüm, hastalık, belirti veya sensör ölçümü gibi bir değişkendir; her ok ise doğrudan etkiden, bu etkinin yöneldiği değişkene işaret eder. Her düğüm, ebeveynlerinin değerlerinin her birleşimi için dağılımını veren bir koşullu olasılık tablosu tutar ve bu tablolar birlikte tüm değişkenlerin ortak dağılımını tanımlar. Bazı değişkenlere ilişkin kanıt verildiğinde ağ, geri kalanların güncellenmiş olasılıklarını hesaplar; bu özellik ağı belirsizlik altında tanı, risk değerlendirmesi ve karar desteği için bir araç hâline getirir. Judea Pearl, kuramın büyük bölümünü 1980'lerde geliştirdi ve olasılıksal akıl yürütme ile nedensel akıl yürütme üzerine çalışmaları ona 2011 Turing Ödülü'nü kazandırdı.

Yapı ve Koşullu Olasılık Tabloları#

Grafik, koşullu bağımsızlığı kodlar: Her değişken, ebeveynleri bilindiğinde soyundan gelmeyen değişkenlerden bağımsızdır. Bu özellik ortak dağılımın küçük yerel parçalara ayrılmasını sağlar: P(X1, ..., Xn) = P(X1 | parents(X1)) × ... × P(Xn | parents(Xn)). Pearl'ün çalışmalarından gelen ve Russell ile Norvig'in Artificial Intelligence: A Modern Approach adlı ders kitabı boyunca kullanılan klasik hırsızlık alarmı ağı, evet-hayır türünde beş değişkene sahiptir. Bir hırsızlık veya deprem ev alarmını çalıştırabilir; alarm da John ve Mary adlı iki komşunun ev sahibini aramasına neden olur.

Beş ikili değişkenin tam ortak olasılık tablosu 31 bağımsız olasılık gerektirir. Ağ ise 10 olasılık gerektirir: hırsızlık ve deprem için birer, iki ebeveynin her birleşimi verildiğinde alarm için dört, alarm verildiğinde her komşu için ikişer olasılık. Düğüm tablosunun boyutu yalnızca düğümün kaç ebeveyni olduğuna bağlı olduğundan, daha fazla değişkenle tasarruf hızla artar.

Çıkarım: Kanıtlardan İnançları Güncelleme#

Çıkarım, gözlemlenen değişkenleri sabitler ve grafik boyunca Bayes teoremini uygulayarak sorgulanan değişkenin sonsal dağılımını hesaplar. Her yönde çalışabilir: nedenlerden sonuçlara (tahmin), sonuçlardan nedenlere (tanı) ve ortak bir sonucun nedenleri arasında. Açıklama dışı bırakma olarak adlandırılan son örüntü, alarmın çaldığı bilindiğinde deprem olduğunu öğrenmenin hırsızlık olasılığını düşürmesi anlamına gelir. Sayım veya değişken eleme yoluyla yapılan kesin çıkarım, küçük veya ağaç benzeri ağlarda uygulanabilir; ancak genel olarak NP-zor olduğundan büyük ağlarda olabilirlik ağırlıklandırma, Gibbs örneklemesi veya döngülü inanç yayılımı gibi yaklaşık yöntemler kullanılır.

Bu örnek, gözlemlenmemiş deprem ve alarm değişkenleri üzerinden çarpanlarına ayrılmış ortak dağılımı toplayarak, ders kitabındaki P(Burglary | John calls, Mary calls) sorgusunu sayım yoluyla yanıtlar:

from itertools import product

# Conditional probability tables of the burglary-alarm network
p_burglary, p_earthquake = 0.001, 0.002
p_alarm = {(True, True): 0.95, (True, False): 0.94, (False, True): 0.29, (False, False): 0.001}
p_john = {True: 0.90, False: 0.05}  # P(John calls | alarm)
p_mary = {True: 0.70, False: 0.01}  # P(Mary calls | alarm)


def bern(p, value):
    """Return the probability of a binary outcome with success probability p."""
    return p if value else 1 - p


# Evidence: both neighbors called. Sum the factored joint over the hidden variables.
joint = {True: 0.0, False: 0.0}
for b, e, a in product([True, False], repeat=3):
    joint[b] += bern(p_burglary, b) * bern(p_earthquake, e) * bern(p_alarm[b, e], a) * p_john[a] * p_mary[a]

print(f"P(burglary | John and Mary call) = {joint[True] / sum(joint.values()):.3f}")

Betik 0.284 sonucunu yazdırır; bu, ders kitabındaki yanıtla aynıdır. İki telefon, hırsızlık olasılığını binde 1'den yaklaşık %28'e çıkarır. Hırsızlık çok nadir olduğundan kalan %72'lik kısım, deprem veya bir arıza nedeniyle alarmın çalması gibi hırsızlık içermeyen açıklamalara karşılık gelir.

Verilerden Bayes Ağlarını Öğrenme#

Bir ağ, uzman bilgisiyle elle oluşturulabilir, verilerden öğrenilebilir veya her iki yöntem birlikte kullanılabilir. Parametre öğrenimi, nadir birleşimleri yumuşatmak için öncüllerden ve bazı değerler eksik olduğunda beklenti-maksimizasyon algoritmasından yararlanarak koşullu olasılık tablolarını gözlemlenen sıklıklarla doldurur. Yapı öğrenimi, Bayes bilgi ölçütü gibi bir ölçütle aday grafikleri puanlayarak veya PC algoritmasının yaptığı gibi koşullu bağımsızlık testleri çalıştırarak grafiğin kendisini arar. Öğrenilen oklar istatistiksel bağımlılığı gösterir; bunları neden olarak yorumlamak ise nedensel keşif alanında incelenen ek varsayımları gerektirir. pgmpy gibi Python kitaplıkları, her iki öğrenme türünü ve kesin ya da yaklaşık çıkarımı uygular.

Gerçek Dünya Uygulamaları#

• Tıbbi tanı: Ağlar hastalıkları, bunların neden olduğu belirtilere ve test sonuçlarına bağlar; böylece klinisyenin gözlemleri her durumun olasılığını günceller ve her sonuç, açıklanabilir yapay zekâ biçiminde grafik üzerinden izlenebilir.
• Arıza tanısı: Endüstriyel ve BT sistemleri, bileşen arızalarının alarmlara ve ölçümlere nasıl yayıldığını modeller. Görsel incelemede, bir YOLO26 algılayıcısının bulduğu kusur sınıfları, aşınmış bir takım veya kalibrasyonu bozulmuş bir makine gibi yukarı akıştaki kök nedenlerin her birinin olasılığını güncelleyen gözlemlenmiş kanıtlar olarak ağa eklenebilir.
• Risk değerlendirmesi: Ekologlar, sigortacılar ve güvenlik mühendisleri, nadir olayların olasılığını tahmin eden ağlarda sınırlı verileri uzman görüşleriyle birleştirir.

Bayes Ağları ve İlgili Modeller#

• Naive Bayes: Her özelliğin tek ebeveyni olan bir sınıf düğümüne sahip Bayes ağıdır; özelliklerin sınıf verildiğinde bağımsız olduğunu varsayar.
• Markov rastgele alanları: Görüntüdeki komşu pikseller gibi simetrik ilişkiler için uygun, yönsüz kenarlara sahip grafik modellerdir.
• Markov karar süreçleri: Eylemlerin durumu değiştirdiği ve en yüksek düzeye çıkarılacak ödüllerin bulunduğu sıralı karar modelleridir; pekiştirmeli öğrenmenin standart çerçevesidir. Bayes ağı, yalnızca karar ve fayda düğümleri eklenerek etki diyagramına genişletildiğinde kararları ve getirileri de içerir.
• Gizli Markov modelleri: Her zaman adımında aynı yapıyı yineleyen dinamik bir Bayes ağıdır; gizli durum, her adımda bir gözlem üretir. Kalman filtreleri, sürekli durumlar ile doğrusal-Gauss geçişleri ve gözlemleri kullanarak aynı yapıya sahiptir.