Фильтр Калмана (KF)

Как работают фильтры Калмана

По своей сути фильтр Калмана рекурсивно оперирует потоками зашумленных входных данных, чтобы получить статистически оптимальную оценку основного состояния системы. Он работает в двухэтапном цикле:

1. Прогнозирование: основываясь на предыдущей оценке состояния и модели того, как система меняется со временем (модель процесса), фильтр предсказывает следующее состояние системы. Это предсказание по своей сути содержит некоторую неопределенность.
2. Обновление: фильтр включает в себя новое измерение (которое также имеет шум и неопределенность), связанное с текущим состоянием. Он сравнивает измерение с предсказанным состоянием и обновляет оценку, придавая больший вес либо предсказанию, либо измерению, исходя из их соответствующих неопределенностей. В результате получается уточненная оценка состояния, которая статистически лучше (ближе к истинному состоянию), чем либо предсказание, либо только измерение.

Этот цикл предсказания-обновления повторяется для каждого нового измерения, постоянно уточняя оценку состояния. Фильтр считается "оптимальным" для линейных систем с гауссовским шумом, потому что он минимизирует среднюю квадратичную ошибку оценки состояния. Это делает его фундаментальным инструментом в оценке состояния и обработке сигналов. Для более наглядного объяснения смотри "Как работает фильтр Калмана, в картинках". В основе математической структуры лежит байесовский вывод.

Основные характеристики

• Рекурсивный: Обрабатывай измерения по одному, по мере их поступления, без необходимости хранить всю историю.
• Оптимально для линейных систем: Обеспечивает наилучшую возможную оценку (с точки зрения минимума средней квадратичной ошибки), если динамика системы и процессы измерения линейны, а шум следует гауссовскому распределению.
• Оценка состояния: Оценивает внутреннее состояние системы (например, положение, скорость), которое нельзя измерить напрямую.
• Справляется с шумом: Явно моделирует неопределенность как в динамике системы, так и в измерениях.
• Вычислительная эффективность: Относительно легкий, что делает его подходящим для приложений реального времени на встраиваемых системах, таких как те, что используются в краевом ИИ.

Применение в реальном мире

Фильтры Калмана незаменимы в многочисленных приложениях AI и ML:

• Отслеживание объектов: В компьютерном зрении КФ обычно используются для предсказания положения обнаруженных объектов (например, пешеходов или автомобилей) в последующих кадрах видео, что помогает сохранять их идентичность даже при кратковременных окклюзиях или сбоях в обнаружении. Такие трекеры, как Simple Online and Realtime Tracking (SORT), в значительной степени полагаются на KFs для предсказания движения. Ultralytics YOLO используют такие алгоритмы отслеживания; подробнее об этом ты можешь узнать из документации по режиму отслеживания. Например, система безопасности может использовать KF для плавного отслеживания человека, идущего по полю зрения камеры, предсказывая его путь между обнаружениями, предоставляемыми моделью обнаружения объектов, такой как YOLO11.
• Робототехника и навигация: KF очень важны для объединения данных с нескольких датчиков(sensor fusion), чтобы оценить положение и ориентацию робота (pose). Например, автономный автомобиль может объединить шумные показания GPS с данными от инерциальных измерительных приборов (IMU) и одометрии колес с помощью KF, чтобы получить надежную оценку своего местоположения и скорости, что необходимо для безопасной навигации(ИИ в автомобильных решениях).
• Аэрокосмическая промышленность и ориентирование: КФ был знаменит тем, что использовался в программе "Аполлон" для навигации космических кораблей и продолжает оставаться жизненно важным в современных аэрокосмических системах наведения и спутникового позиционирования.
• Анализ временных рядов: Используется в эконометрике и финансах для моделирования и прогнозирования временных рядов данных, отфильтровывая шумы и оценивая лежащие в их основе тенденции. Ты можешь изучить финансовые модели временных рядов, чтобы получить больше информации.
• Обработка сигналов: Применяется в различных задачах обработки сигналов, таких как улучшение звука и анализ биомедицинских сигналов.

Фильтр Калмана и расширенный фильтр Калмана

Стандартный фильтр Калмана предполагает, что динамика системы и модели измерений линейны. Однако многие системы реального мира демонстрируют нелинейное поведение (например, движения рук робота, сложная динамика автомобиля). Для таких случаев используются варианты вроде расширенного фильтра Калмана (Extended Kalman Filter, EKF).

Ключевое отличие заключается в том, что EKF работает с нелинейными системами путем их аппроксимации. Он линеаризует нелинейные функции вокруг текущей оценки состояния на каждом временном шаге, используя такие методы, как разложение в ряд Тейлора. Несмотря на свою эффективность, такая линеаризация вносит ошибки в аппроксимацию, а значит, EKF может быть не таким оптимальным и стабильным, как стандартный KF для чисто линейных задач. Если известно, что система линейна, то КФ обычно предпочтительнее из-за его оптимальности и вычислительной простоты. Другие варианты, такие как фильтр Калмана (Unscented Kalman Filter, UKF), предлагают различные подходы к работе с нелинейностями, часто обеспечивая лучшую точность, чем EKF, для сильно нелинейных систем, но обычно требуя больше вычислений. Ты можешь обучать и экспериментировать с моделями, включающими эти фильтры, используя такие платформы, как Ultralytics HUB.