Fuzzy Logic

Fuzzy-Logik ist eine Form der mehrwertigen Logik, bei der eine Aussage teilweise wahr sein kann. Ihr Wahrheitsgrad kann jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen, statt nur wahr oder falsch zu sein. Ihren Ursprung hat sie in Lotfi Zadehs Arbeit über unscharfe Mengen aus dem Jahr 1965 an der University of California, Berkeley. Sie bietet Computern eine Möglichkeit, vage menschliche Begriffe wie „warm“, „nah“ oder „schnell“ in präzisen Berechnungen zu verwenden. Ein Fuzzy-System bildet Expertenwissen mit einfachen Wenn-dann-Regeln ab und kombiniert die Regeln, die teilweise zutreffen. Dadurch ändert sich die Ausgabe gleichmäßig, wenn sich die Eingaben ändern. Diese Eigenschaft machte Fuzzy-Logik zu einem festen Bestandteil der Regelungstechnik – von Zugbremsen bis zu Waschmaschinen. Sie kommt weiterhin in Systemen der künstlichen Intelligenz (AI) zum Einsatz, die interpretierbare, von Hand anpassbare Regeln benötigen.

Unscharfe Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen#

In der klassischen Mengenlehre gehört ein Element entweder zu einer Menge oder nicht. Eine unscharfe Menge ordnet jedem Element mithilfe einer Zugehörigkeitsfunktion einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 zu. Die Funktion ist über den Eingabebereich meist dreieckig, trapezförmig oder gaußförmig. Benachbarte Mengen überlappen sich. Ein Raum mit 24 °C kann daher zugleich zu 0.6 „warm“ und zu 0.2 „heiß“ sein. Die Zuordnung ändert sich allmählich, statt an einem Schwellenwert sprunghaft zu wechseln. Auch logische Operatoren lassen sich auf solche Grade erweitern: Zadehs ursprüngliche Definitionen verwenden für UND das Minimum zweier Grade, für ODER das Maximum und für NICHT 1 minus den Grad. Andere Möglichkeiten, etwa das Produkt für UND, gehören zu einer als T-Normen bezeichneten Funktionsfamilie.

So funktioniert ein Fuzzy-Inferenzsystem#

Ein Fuzzy-Regler wandelt eindeutige Sensormesswerte in vier Schritten in einen eindeutigen Steuerbefehl um:

1. Fuzzifizierung: Ordne jedem Eingabewert für jede unscharfe Menge seinen Zugehörigkeitsgrad zu, zum Beispiel wie „nah“, „mittelweit“ oder „weit“ ein Hindernis ist.
2. Regelauswertung: Wende jede Wenn-dann-Regel an, etwa „wenn der Abstand gering ist, ist die Bremsung stark“, und zwar entsprechend dem Grad, zu dem ihre Bedingung zutrifft.
3. Aggregation: Begrenze die Ausgabemenge jeder Regel auf ihre Auslösestärke und kombiniere die begrenzten Mengen, meist mit dem Maximum.
4. Defuzzifizierung: Reduziere die kombinierte Menge auf einen einzelnen Wert, meist ihren Schwerpunkt.

Dieses Verfahren ist die Mamdani-Methode, benannt nach Ebrahim Mamdani. Gemeinsam mit Sedrak Assilian setzte er sie 1975 zur Steuerung einer Labor-Dampfmaschine ein. Takagi-Sugeno-Systeme ersetzen die Ausgabemengen durch Formeln der Eingaben und mitteln diese. Das ist rechnerisch günstiger und lässt sich leichter anhand von Daten abstimmen. Dieses Beispiel implementiert einen Fuzzy-Regler nach Mamdani mit drei Regeln, der die Bremskraft anhand des Abstands zu einem Hindernis einstellt:

import numpy as np

# Output fuzzy sets over braking force (0-100%)
force = np.linspace(0, 100, 501)
gentle = np.interp(force, [0, 40], [1, 0])
firm = np.interp(force, [20, 50, 80], [0, 1, 0])
hard = np.interp(force, [60, 100], [0, 1])

for distance in [8, 15, 22, 35]:
    # Fuzzification: how near, medium, and far the obstacle is (meters)
    near = np.interp(distance, [5, 20], [1, 0])
    medium = np.interp(distance, [10, 20, 30], [0, 1, 0])
    far = np.interp(distance, [20, 40], [0, 1])

    # Rules: near -> hard, medium -> firm, far -> gentle; clip each set (min), combine (max)
    combined = np.maximum.reduce([np.minimum(near, hard), np.minimum(medium, firm), np.minimum(far, gentle)])

    # Defuzzification: the centroid of the combined set is the crisp braking command
    print(f"{distance:>2} m -> brake {np.sum(force * combined) / np.sum(combined):.0f}%")

Das Skript gibt bei Abständen von 8, 15, 22 und 35 Metern Bremskräfte von 86 %, 60 %, 47 % und 14 % aus. Bei 15 Metern ist das Hindernis zu 0.33 „nah“ und zu 0.5 „mittelweit“. Daher greifen die Regeln für starkes und kräftiges Bremsen teilweise, und ihre Kombination ergibt 60 %. Drei Regeln erzeugen eine gleichmäßige Bremskurve, bei der der Steuerbefehl an keinem Schwellenwert sprunghaft wechselt.

Anwendungen#

• Regelungssysteme: Hitachis fuzzygesteuerter automatischer Zugbetrieb regelte beim Start der Namboku-Linie der U-Bahn von Sendai im Jahr 1987 Beschleunigung und Bremsen. Das sorgte für sanftere Fahrten und präzisere Halte. Fuzzy-Regler passen auch Haushaltsgeräte wie Waschmaschinen, Reiskocher und Klimaanlagen anhand ungenauer Sensormesswerte an.
• Bildsegmentierung: Fuzzy C-Means, eine unscharfe Variante des K-Means-Clustering, ordnet jedem Pixel einen Zugehörigkeitsgrad zu jedem Cluster zu. Es wird häufig in der Analyse medizinischer Bilder eingesetzt, zum Beispiel um Gewebetypen im Gehirn auf MRT-Aufnahmen zu unterscheiden. Ein Pixel an einer Grenze kann dabei zu beiden Geweben gehören.
• Bildverarbeitungsgestützte Entscheidungen: Die Ultralytics-Lösung zur Geschwindigkeitsschätzung verfolgt Fahrzeuge mit einem YOLO26-Modell und gibt die Geschwindigkeit jedes Fahrzeugs in km/h aus. Ein Regelsystem mit Fuzzy-Logik kann diesen eindeutigen Eingabewert als niedrig, mittel oder hoch einstufen, bevor es eine Warnstufe oder Ampelschaltung festlegt.
• Neuro-Fuzzy-Systeme: Das adaptive Neuro-Fuzzy-Inferenzsystem (ANFIS), das Jyh-Shing Roger Jang 1993 vorstellte, lernt Zugehörigkeitsfunktionen und Regelparameter anhand von Daten mit Trainingsverfahren für neuronale Netze, während die Regeln lesbar bleiben.

Fuzzy-Logik im Vergleich zu Wahrscheinlichkeit und symbolischer KI#

Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeit verwenden beide Zahlen zwischen 0 und 1, beschreiben aber unterschiedliche Arten von Unsicherheit. Eine Wahrscheinlichkeit, mit der Bayes'sche Netze arbeiten, gibt an, wie wahrscheinlich ein klar definiertes Ereignis ist, etwa eine Regenwahrscheinlichkeit von 30 % für morgen. Ein Fuzzy-Zugehörigkeitsgrad drückt aus, wie gut eine vage Beschreibung auf einen bekannten Zustand passt, etwa dass eine Tasse Kaffee bei 50 °C zu 0.7 „warm“ ist. Im Gegensatz zur klassischen symbolischen KI behalten Fuzzy-Regelsysteme die lesbare Wenn-dann-Form von Expertensystemen bei. Sie ersetzen jedoch die Ja-oder-Nein-Bedingung jeder Regel durch einen Grad, sodass mehrere Regeln gleichzeitig zu einer Entscheidung beitragen können.