Time Series Analysis

Zeitreihenanalyse befasst sich mit Datenpunkten, die in zeitlicher Reihenfolge aufgezeichnet werden, üblicherweise in regelmäßigen Abständen, etwa stündlichen Sensormessungen, täglichen Verkaufszahlen oder der Anzahl der Fahrzeuge, die eine Verkehrskamera pro Minute erfasst. Im Unterschied zu anderen Bereichen der Datenanalyse ist hier die Reihenfolge entscheidend: Jede Beobachtung hängt von den vorherigen ab. Werden die Daten gemischt, gehen die interessanten Muster verloren. Zu den wichtigsten Zielen gehören die Beschreibung einer Reihe anhand ihres Trends und ihrer saisonalen Muster, die Vorhersage künftiger Werte, die Erkennung von Anomalien und die Klassifizierung ganzer Reihen, etwa von Herzrhythmen in einem EKG.

Trend, Saisonalität und Stationarität#

Die meisten Reihen setzen sich aus einigen wenigen Komponenten zusammen. Der Trend zeigt die langfristige Richtung, die Saisonalität ein Muster, das sich in einem festen Zeitraum wie einem Tag, einer Woche oder einem Jahr wiederholt, Zyklen sind längerfristige Schwankungen ohne festen Zeitraum, und das Residuum ist der verbleibende Anteil. Bei der Zerlegung werden die Komponenten getrennt, klassischerweise mithilfe gleitender Durchschnitte und robuster mit STL. Diese auf lokaler Regression basierende Zerlegung in saisonale und Trendkomponenten veröffentlichten Robert Cleveland und Kollegen 1990.

Die Autokorrelation, also die Korrelation einer Reihe mit einer zeitlich verzögerten Kopie ihrer selbst, macht diese Struktur sichtbar: Ein starker Wert bei einer Verzögerung von 24 in stündlichen Daten bedeutet, dass jede Stunde der gleichen Stunde des Vortags ähnelt. Viele statistische Modelle setzen außerdem Stationarität voraus. Das bedeutet, dass sich Mittelwert, Varianz und Autokorrelation im Zeitverlauf nicht ändern. Der erweiterte Dickey-Fuller-Test prüft eine häufige Form der Nichtstationarität. Die Differenzbildung, bei der die Veränderung von einem Schritt zum nächsten statt des absoluten Werts modelliert wird, entfernt einen Trend.

Dieses Beispiel simuliert vier Wochen stündlicher Fahrzeugzahlen mit einem Tageszyklus, einem langsamen Aufwärtstrend und Rauschen, misst die Autokorrelation und erstellt zwei Vorhersagen für den letzten Tag:

import numpy as np
import pandas as pd

# Four weeks of hourly vehicle counts: a daily cycle, a slow upward trend, and noise
rng = np.random.default_rng(0)
hours = pd.date_range("2026-03-01", periods=24 * 28, freq="h")
daily_cycle = 40 + 30 * np.sin(2 * np.pi * (hours.hour - 9) / 24)
counts = pd.Series(daily_cycle + 0.02 * np.arange(len(hours)) + rng.normal(0, 5, len(hours)), index=hours)

# Autocorrelation: how strongly each count resembles the count 1, 12, and 24 hours earlier
for lag in [1, 12, 24]:
    print(f"Autocorrelation at lag {lag}: {counts.autocorr(lag):.2f}")

# Forecast the final day from the 27 days before it
history, actual = counts[:-24], counts[-24:].to_numpy()
naive = np.full(24, history.iloc[-1])  # repeat the last observed count
seasonal_naive = history.iloc[-24:].to_numpy()  # repeat the same hour of the previous day
print(f"Naive MAE: {np.abs(actual - naive).mean():.1f} vehicles")
print(f"Seasonal naive MAE: {np.abs(actual - seasonal_naive).mean():.1f} vehicles")

Die Autokorrelation beträgt 0,92 bei Verzögerung 1, -0,89 bei Verzögerung 12, wo der Höchststand am Nachmittag mit dem Tiefststand in der Nacht zusammenfällt, und 0,95 bei Verzögerung 24. Wird die letzte beobachtete Zahl wiederholt, beträgt der durchschnittliche Fehler 24,5 Fahrzeuge pro Stunde. Bei einer Wiederholung der Zahl vom Vortag sind es 5,6. Die saisonale naive Vorhersage ist daher die Vergleichsbasis, die ein Vorhersagemodell übertreffen muss.

Vorhersageverfahren#

Statistische Verfahren sind nach wie vor leistungsfähig, insbesondere bei kurzen Reihen. Die exponentielle Glättung, die Charles Holt und Peter Winters um 1960 entwickelten, gewichtet jüngste Beobachtungen am stärksten und ergänzt Trend- und Saisonkomponenten. ARIMA-Modelle, die George Box und Gwilym Jenkins 1970 bekannt machten, kombinieren autoregressive Terme, Differenzbildung und gleitende Durchschnitte früherer Fehler. Prophet von Meta passt Trend, Saisonalität und Feiertagseffekte für Geschäftsdaten an.

Modelle des maschinellen Lernens behandeln Vorhersagen als prädiktive Modellierung anhand verzögerter Werte und Kalendermerkmale. Gradient-Boosted Trees wie LightGBM dominierten den M5-Wettbewerb von 2020 zu Walmart-Verkäufen. Den M4-Wettbewerb von 2018 mit 100.000 Reihen gewann Slawek Smyl mit einer Kombination aus exponentieller Glättung und einem rekurrenten neuronalen Netzwerk. Deep-Learning-Modelle umfassen LSTMs, Zustandsraummodelle und Transformer. Vortrainierte Basismodelle wie Chronos von Amazon und TimesFM von Google sagen Werte für neue Reihen ohne zusätzliches Training vorher. Kalman-Filter dienen der verwandten Aufgabe, aus verrauschten Messungen in Echtzeit einen verborgenen Zustand wie die Position eines Objekts zu schätzen.

Bei der Bewertung muss die zeitliche Reihenfolge berücksichtigt werden. Zufällige Kreuzvalidierung gibt einem Modell Einblick in die Zukunft und verursacht damit eine Form von Datenleckage. Vorhersagen werden daher mit einer rollierenden Auswertung geprüft: Das Modell wird mit allen Daten vor einem Stichtag trainiert, sagt den darauf folgenden Zeitraum vorher und der Vorgang wird wiederholt, während der Stichtag nach vorn verschoben wird.

Zeitreihen aus Videos#

Computer Vision macht aus Videos Zeitreihen. Die Objektzählung mit einer Verkehrskamera ergibt die Anzahl der Fahrzeuge pro Minute, das Objekttracking liefert Positionen und Geschwindigkeiten pro Einzelbild, und Kameras in Geschäften liefern Belegungszahlen pro Stunde. Diese Reihen lassen sich anschließend mit denselben Methoden auswerten: zur Vorhersage von Stoßzeiten oder Personalbedarf und zur Anomalieerkennung, die nach einem Unfall einen plötzlichen Rückgang des Verkehrs meldet. In der Analytics-Lösung von Ultralytics verfolgt analytics_type="line" Objekte mit einem YOLO26-Modell und trägt alle 30 Einzelbilder die Anzahl der sichtbaren Objekte auf. Bei Videos mit 30 fps geschieht das etwa einmal pro Sekunde. So wird der Kamerastream während der Wiedergabe zu einer Zählreihe.

Die Zeitreihenanalyse überschneidet sich mit der Sequenzmodellierung in der Sprachverarbeitung, bei der Text nach Position geordnet ist und kein Abtastintervall hat. Zahlen und Geschwindigkeiten, die von Modellen zur Erkennung, Verfolgung und zum Videoverständnis aus Videos extrahiert werden, benötigen viel weniger Speicherplatz als die Einzelbilder. So lassen sich jahrelange Daten speichern und kameraübergreifend vergleichen.