Model Predictive Control (MPC)

Modellprädiktive Regelung (MPC) ist ein Regelungsverfahren, das anhand eines Systemmodells das Verhalten des Systems über einen kurzen zukünftigen Zeithorizont vorhersagt. Es wählt die Aktionsfolge aus, die ein Ziel unter Einhaltung der Randbedingungen am besten erreicht, führt nur die erste Aktion aus und wiederholt dann den gesamten Vorgang im nächsten Zeitschritt mit neuen Messwerten. Dieser Zyklus aus Planen, Handeln und erneuter Planung heißt Regelung mit gleitendem Horizont. So kann der Regler vorausplanen, statt nur auf den aktuellen Fehler zu reagieren. MPC entwickelte sich Ende der 1970er-Jahre aus der Erdölraffinerie und der chemischen Verfahrenstechnik. Shells Dynamic Matrix Control gehörte zu den ersten industriellen Varianten. Heute steuert MPC Roboter, autonome Fahrzeuge und Gebäudeklimaanlagen.

Bestandteile einer MPC-Steuerung#

Jede MPC-Steuerung umfasst vier Bestandteile:

• Dynamikmodell: Sagt den nächsten Zustand anhand des aktuellen Zustands und einer Aktion voraus, etwa wie sich Position und Ausrichtung eines Autos bei einem bestimmten Lenkwinkel ändern. Das Modell kann auf physikalischen Gleichungen, der Systemidentifikation anhand protokollierter Daten oder einem mit aufgezeichneten Bewegungsabläufen trainierten neuronalen Netz beruhen.
• Kostenfunktion: Bewertet eine vorhergesagte Trajektorie und bestraft üblicherweise die Abweichung von einem Ziel, den Energieverbrauch und abrupte Änderungen der Steuergrößen.
• Randbedingungen: Vorgaben, die jeder Plan erfüllen muss, etwa das maximale Drehmoment des Motors, Geschwindigkeitsbegrenzungen und Sperrzonen um Hindernisse. Die explizite Berücksichtigung von Randbedingungen ist der wichtigste Vorteil von MPC gegenüber der klassischen PID-Regelung. Diese reagiert erst auf bereits aufgetretene Fehler und kann eine Grenze nicht vorausblickend berücksichtigen.
• Optimierer: Sucht bei jedem Regelschritt innerhalb des Zeithorizonts nach der besten Aktionsfolge.

Das Modell bestimmt, wie aufwendig die Optimierung ist. Ein lineares Modell mit quadratischer Kostenfunktion ergibt ein quadratisches Optimierungsproblem, das spezielle Solver in wenigen Millisekunden oder schneller lösen. Nichtlineare Modelle benötigen Solver für nichtlineare MPC, häufig in Kombination mit einem erweiterten Kalman-Filter zur Zustandsschätzung, oder eine stichprobenbasierte Suche. Bei jedem Regelschritt durchläuft der Optimierer eine innere Schleife, in der mögliche Pläne vorhergesagt und verbessert werden. Der Regler führt in einer äußeren Schleife eine Aktion aus und startet anhand des neu gemessenen Zustands erneut:

Die Länge des Zeithorizonts ist die zentrale Abstimmungsentscheidung. Ein längerer Horizont lässt ein Fahrzeug vor einer scharfen Kurve frühzeitig bremsen. Jeder zusätzliche Schritt erhöht jedoch den Rechenaufwand und summiert den Vorhersagefehler des Modells auf. Außerdem muss die gesamte Optimierung innerhalb eines Regelintervalls abgeschlossen sein.

Gleitender Horizont im Code#

Das folgende Snippet steuert einen Wagen, der zur Position 5 fahren und anhalten soll. Die Beschleunigung ist auf plus oder minus 1 begrenzt. Bei jedem Schritt werden 500 zufällige Beschleunigungspläne abgetastet, die Trajektorie jedes Plans anhand der Wagendynamik vorhergesagt und die erste Aktion des kostengünstigsten Plans ausgeführt. Anschließend wird ausgehend vom neuen Zustand neu geplant:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
position, velocity, target = 0.0, 0.0, 5.0
dt, horizon = 0.1, 30

for _ in range(100):
    # Sample 500 candidate plans of accelerations within the actuator limit of +/-1
    plans = rng.uniform(-1, 1, size=(500, horizon))
    # Predict every plan's trajectory with the cart's dynamics model
    v = velocity + dt * plans.cumsum(axis=1)
    p = position + dt * v.cumsum(axis=1)
    # Cost: distance from the target at each step plus speed at the end of the horizon
    cost = ((p - target) ** 2).sum(axis=1) + 10 * v[:, -1] ** 2
    # Apply only the first action of the cheapest plan, then replan from the new state
    velocity += dt * plans[cost.argmin(), 0]
    position += dt * velocity

print(f"position: {position:.2f}, velocity: {velocity:.2f}")

Nach 10 simulierten Sekunden steht der Wagen bei Position 5.04 und hat eine Geschwindigkeit von 0.04. Kein einzelner zufälliger Plan ist für sich genommen gut. Doch wenn jeweils ein Schritt ausgeführt und anhand des gemessenen Zustands neu geplant wird, werden die Fehler laufend korrigiert. Dieser als Random Shooting bezeichnete Ansatz ist das einfachste Verfahren der stichprobenbasierten MPC-Familie. Dazu gehören auch die Kreuzentropiemethode und die modellprädiktive Pfadintegralregelung (MPPI), mit der Forschende der Georgia Tech einen Rallyewagen im Maßstab 1:5 über eine Schotterstrecke fahren ließen.

MPC in Anlagen, Robotern, Autos und Gebäuden#

• Prozessindustrie: Raffinerien, Chemieanlagen und Kraftwerke verwenden MPC, um Temperaturen, Drücke und Produktqualität nahe an den Grenzwerten zu halten, die den Durchsatz maximieren. In diesem Bereich nahm das Verfahren seinen Anfang.
• Laufroboter: Cheetah 3 vom MIT lief und hielt mit einer konvexen MPC-Regelung das Gleichgewicht. Dabei wurden die Bodenreaktionskräfte viele Male pro Sekunde neu berechnet. Später veröffentlichte das MIT diese Regelung als quelloffene Software für Mini Cheetah.
• Fahren: Regler zur Pfadverfolgung in selbstfahrenden Autos nutzen MPC, um einer geplanten Trajektorie gleichmäßig und innerhalb der Grenzen für Lenken, Beschleunigung und Fahrkomfort zu folgen.
• Gebäude: Heizungs- und Kühlungsregler sagen anhand von Wetter- und Belegungsprognosen die Raumtemperaturen für mehrere Stunden voraus und kühlen oder heizen Räume vor, wenn Energie am günstigsten ist.

MPC im Vergleich zu verwandten Verfahren#

• PID-Regelung: Ein PID-Regler berechnet seine Ausgabe anhand des aktuellen Fehlers, seines Integrals und seiner Änderungsrate. Das Verfahren ist einfach und günstig, hat jedoch kein Modell der Zukunft und berücksichtigt keine Randbedingungen.
• Linear-quadratischer Regler (LQR): LQR ermittelt in geschlossener Form das optimale Rückkopplungsgesetz für ein lineares System mit quadratischer Kostenfunktion über einen unendlichen Zeithorizont. MPC löst online eine Variante mit endlichem Zeithorizont. Dadurch kann MPC Randbedingungen durchsetzen und nichtlineare Modelle verarbeiten.
• Bestärkendes Lernen: Beim RL wird vor dem Einsatz anhand von Erfahrungen eine Strategie gelernt. Danach genügt ein einzelner schneller Vorwärtsdurchlauf, um eine Aktion auszuwählen. MPC löst dagegen online jedes Mal eine neue Optimierung anhand eines expliziten Modells.

Die beiden Ansätze werden zunehmend kombiniert. Modellbasiertes Deep Reinforcement Learning lernt ein Weltmodell und plant darin mit MPC. Verfahren wie TD-MPC2 planen in einem gelernten latenten Raum, während eine gelernte Wertfunktion bewertet, was nach dem Ende des kurzen Zeithorizonts geschieht. Gelernte Dynamikmodelle sind eine Form der prädiktiven Modellierung. Ihre Genauigkeit über den Zeithorizont bestimmt, wie weit ein solcher Regler sinnvoll vorausplanen kann.

Wahrnehmung für MPC#

Ein MPC-Regler kann nur so gut planen, wie er seine Umgebung wahrnimmt. Bei einem physischen KI-System wie einem Roboter, der sich zwischen Menschen bewegt, muss sein Zustand erfassen, wo sich diese Menschen befinden und in welche Richtung sie sich bewegen. Eine Kamera, auf der Ultralytics YOLO26 im Tracking-Modus läuft, liefert für jede Person in jedem Bild eine Bounding Box und eine dauerhafte Track-ID. In Kombination mit einer Tiefenschätzung oder einer Kamerakalibrierung und einem Kalman-Filter ergeben diese Tracks die Positionen und Geschwindigkeiten der Hindernisse, die der Regler aufgrund seiner Randbedingungen freihalten muss.